حساب دیفرانسیل و انتگرال APEX

ما به طور کلی با ایده ترسیم منحنی ها با ارتباط دادن (x) -values به (y) -values از طریق یک تابع (f ext آشنا می شویم.<.>) یعنی (y=f(x) ext) را تنظیم می کنیم و تعداد زیادی جفت نقطه ((x, y)) را ترسیم می کنیم تا تصور خوبی از ظاهر منحنی داشته باشیم. این روش مفید است، اما دارای محدودیت هایی است، از جمله این که منحنی هایی که «در آزمون خط عمودی شکست می خورند» را نمی توان بدون استفاده از چندین توابع رسم کرد.

دو بخش قبلی روش جدیدی برای ترسیم نقاط در صفحه (x, y) - معرفی و مطالعه کردند. با استفاده از معادلات پارامتری، مقادیر (x) و (y) به طور مستقل محاسبه شده و سپس با هم رسم می شوند. این روش به ما این امکان را می دهد که طیف فوق العاده ای از منحنی ها را نمودار کنیم. این بخش روش دیگری را برای رسم نقاط در صفحه معرفی می کند: استفاده از مختصات قطبی.

زیربخش 10. 4. 1 مختصات قطبی

با یک نقطه (O) در صفحه ای به نام قطب شروع کنید (ما همیشه این نقطه را با مبدا شناسایی می کنیم). از قطب، یک پرتو به نام پرتو اولیه رسم کنید (ما همیشه این پرتو را به صورت افقی ترسیم می کنیم و آن را با محور مثبت (x) - می شناسیم). یک نقطه (P) در صفحه با فاصله (r) که (P) از (O ext) است و زاویه ( heta) بین پرتو اولیه وبخش (overline) (در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود). فاصله و زاویه را به صورت یک جفت مرتب شده ((r, heta)متن ثبت می کنیم<.>) برای جلوگیری از اشتباه گرفتن با مختصات مستطیلی، مختصات قطبی را با حرف (P ext) مانند (P(r, heta) ext نشان می دهیم.<.>) این در شکل 10. 4. 1 نشان داده شده است

تمرین این روند را واضح تر می کند.

مثال 10. 4. 2. ترسیم مختصات قطبی

مختصات قطبی زیر را رسم کنید: شروع A = P(1,pi/4) B=P(1. 5,pi) C = P(2,-pi/3) D = P(-1,pi/4) پایان

برای کمک به ترسیم، یک شبکه قطبی در زیر ارائه شده است. برای قرار دادن نقطه (A ext<,>) 1 واحد در امتداد پرتو اولیه خارج شوید (شما را روی دایره داخلی نشان داده شده در شبکه قرار می دهد)، سپس رادیان ها (pi/4) را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانید (یا (45^circ)). متناوباً، می توان ابتدا چرخش را در نظر گرفت: به پرتوی از (O) فکر کنید که با پرتو اولیه زاویه (pi/4) را تشکیل می دهد، سپس 1 واحد در امتداد این پرتو حرکت دهید (دوباره شما را دردایره داخلی شبکه).

برای رسم (B ext<,>) واحدهای (1. 5) را در امتداد پرتوی اولیه خارج کنید و رادیان (pi) ((180^circ)) را بچرخانید.

برای رسم (C ext<,>) 2 واحد در امتداد پرتو اولیه خارج شوید و سپس رادیان (pi/3) را در جهت عقربه های ساعت بچرخانید، زیرا زاویه داده شده منفی است.

برای رسم (Dمتن<,>) در امتداد واحدهای پرتوی اولیه " (-1 )" حرکت کنید-به عبارت دیگر ، "پشتیبان گیری" 1 واحد ، سپس با خلاف جهت عقربه های ساعت توسط ( pi/4 text می چرخید<.>) نتایج در شکل 10. 4. 3 آورده شده است.

دو نکته زیر را در نظر بگیرید: (a = p (1 ، pi) ) و (b = p (-1،0) متن<.>) برای یافتن (a text ) 1 واحد را روی پرتوی اولیه بیرون بروید و سپس رادیان ( pi ) بچرخانید. برای یافتن (b text ) به بیرون بروید (-1 ) در پرتوی اولیه و چرخش نکنید. باید دید که (a ) و (b ) در همان نقطه در هواپیما قرار دارند. همچنین می توانیم (C = P (1،3 PI) Text ) یا (D = P (1 ،- pi) ) را در نظر بگیریم.

این توانایی برای شناسایی یک نقطه در هواپیما با مختصات چند قطبی هم "نعمت" و هم "نفرین" است. خواهیم دید که مفید است زیرا می توانیم عملکردهای زیبایی را که از خود تقاطع می کنند ترسیم کنیم (دقیقاً مانند آنچه با عملکردهای پارامتری دیدیم). بخش ناگوار این امر این است که تعیین زمان این اتفاق دشوار است. بعداً در این بخش این موضوع را کشف خواهیم کرد.

بخش 10. 4. 2 تبدیل قطبی به مستطیل

تشخیص هم مختصات مستطیل (یا ، دکارتی) یک نقطه در هواپیما و مختصات قطبی آن مفید است. شکل 10. 4. 4 یک نقطه (P ) را در هواپیما با مختصات مستطیل ((x ، y) ) و مختصات قطبی (p (r ، theta) متن نشان می دهد.<.>) با استفاده از مثلثات ، می توانیم هویت های ارائه شده در ایده اصلی زیر را ایجاد کنیم.

ایده اصلی 10. 4. 5. تبدیل بین مختصات مستطیل و قطبی.

با توجه به نقطه قطبی (p (r ، theta) متن<,>) مختصات مستطیلی توسط تعیین می شود شروع x = r cos ( theta) qquad y = r sin ( theta) text end با توجه به مختصات مستطیل شکل ((x ، y) متن<,>) مختصات قطبی توسط شروع r^2 = x^2+y^2 qquad tan ( theta) = frac yx text end

مثال 10. 4. 6. تبدیل بین مختصات قطبی و مستطیل.

مختصات قطبی (p (2،2 pi/3) ) و (p (-1،5 pi/4) ) را به مختصات مستطیل تبدیل کنید. مختصات مستطیل شکل ((1،2) ) و ((-1،1) ) را به مختصات قطبی تبدیل کنید. ما با استفاده از ایده کلیدی 10. 4. 5 با (P (2،2 pi/3) ) شروع می کنیم. شروع x = 2 cos (2 pi/3) = -1 qquad y = 2 sin (2 pi/3) = sqrt text end بنابراین مختصات مستطیل شکل (-1 ، sqrt<3>) تقریبی (-1،1. 732) متن<.>) نقطه قطبی (p (-1،5 pi/4) ) با: مستطیل با: شروع x = -1 cos (5 pi/4) = sqrt/2 qquad y = -1 sin (5 pi/4) = sqrt/2 text end بنابراین مختصات مستطیل شکل ( sqrt<2>/2 ، sqrt<2>/2) تقریبی (0. 707،0. 707) متن<.>)

این نقاط در شکل 10. 4. 7 ترسیم شده است. (الف). سیستم مختصات مستطیل شکل زیر سیستم مختصات قطبی به آرامی کشیده می شود تا رابطه بین این دو مشاهده شود.

برای تبدیل نقطه مستطیل شکل ((1،2) ) به مختصات قطبی ، ما از ایده اصلی برای تشکیل دو معادله زیر استفاده می کنیم:

شروع 1^2+2^2 = r^2 qquad tan ( theta) = frac text end معادله اول به ما می گوید که (r = sqrt<5> متن<.>) با استفاده از عملکرد مماس معکوس ، ما می یابیم شروع برنزه ( theta) = 2 راست theta = tan^(2) تقریبی 1. 11 تقریبا 63. 43^ circ text end بنابراین مختصات قطبی ((1،2) ) (p ( sqrt<5>، 1. 11) متن<.>) برای تبدیل ((-1،1) ) به مختصات قطبی ، معادلات را تشکیل می دهیم شروع (-1)^2+1^2 = r^2 qquad tan ( theta) = frac text end

بنابراین (r = sqrt<2> متن<.>) ما باید در محاسبات ( theta text ) با استفاده از عملکرد مماس معکوس ، مراقب باشیم

شروع برنزه ( theta) = -1 راست theta = tan^( -1) = - pi/4 = -45^ circ text end

این زاویه ای نیست که ما می خواهیم. دامنه ( tan^<1>(x) ) ((- pi/2 ، pi/2) است. برای یافتن مکان هایی در ربع (2 ) nd و (3 ) ، ( pi ) را به نتیجه ( tan^ اضافه کنید.<1>(x) متن<.>) بنابراین ( pi+(- pi/4) ) زاویه را در (3 pi/4 متن قرار می دهد<.>) بنابراین نقطه قطبی (p ( sqrt ، 3 pi/4) متن است<.>) یک روش متناوب استفاده از زاویه ( theta ) است که توسط arctangent داده شده است ، اما علامت (متن r <.>) بنابراین می توانیم به ((-1،1) ) به عنوان (p (- sqrt ،- pi/4) متن مراجعه کنیم<.>)

این نقاط در شکل 10. 4. 7 ترسیم شده است. (ب). سیستم قطبی به آرامی زیر شبکه مستطیل شکل با اشعه کشیده می شود تا زاویه های مورد استفاده را نشان دهد.

بخش 10. 4. 3 توابع قطبی و نمودارهای قطبی

تعریف یک سیستم مختصات جدید به ما امکان می دهد نوع جدیدی از عملکرد ، یک عملکرد قطبی ایجاد کنیم. مختصات مستطیل به خوبی خود را به ایجاد توابعی که مربوط به (x ) و (y text ) مانند (y = x^2 text است ، قرض داده اند.<.>) مختصات قطبی به ما امکان می دهد توابعی را ایجاد کنیم که مربوط به (r ) و ( theta text باشد<.>) به طور معمول این توابع مانند (r = f ( theta) text ) به نظر می رسند اگرچه می توانیم توابع فرم را ایجاد کنیم ( theta = f (r) text<.>) مثالهای زیر ما را با این مفهوم آشنا می کند.

مثال 10. 4. 8. مقدمه ای برای گرافیک عملکردهای قطبی.

نمودارهای توابع قطبی زیر را شرح دهید. ( DisplayStyle r = 1. 5 ) ( displayStyle theta = pi/4 )

معادله (r = 1. 5 ) تمام نقاط 1. 5 واحد از قطب را توصیف می کند. از آنجا که زاویه مشخص نشده است ، هر ( theta ) مجاز است. تمام نقاط 1. 5 واحد از قطب دایره ای از شعاع 1. 5 را توصیف می کند. ما می توانیم معادل مستطیل این معادله را در نظر بگیریم. با استفاده از (r^2 = x^2+y^2 متن<,>) می بینیم که (1. 5^2 = x^2+y^2 متن<,>) که ما به عنوان معادله یک دایره با محوریت ((0/0)) با شعاع 1. 5 تشخیص می دهیم. این در شکل 10. 4. 9 ترسیم شده است.

معادله ( theta = pi/4 ) تمام نقاط را توصیف می کند به گونه ای که خط از طریق آنها و قطب زاویه ای از ( pi/4 ) را با پرتوی اولیه ایجاد می کند. از آنجا که شعاع (r ) مشخص نشده است ، می تواند هر مقدار (حتی منفی) باشد. بنابراین ( theta = pi/4 ) خط را از طریق قطب توصیف می کند که زاویه ای از ( pi/4 = 45^ circ ) را با پرتوی اولیه ایجاد می کند. ما دوباره می توانیم معادل مستطیل این معادله را در نظر بگیریم. ترکیب ( tan ( theta) = y/x ) و ( theta = pi/4 متن<:>)

شروع برنزه ( pi) /4 = y /x reightarrow x tan ( pi) /4 = y rightarrow y = x text end این نمودار همچنین در شکل 10. 4. 9 ترسیم شده است.

معادلات مستطیل اصلی فرم (x = h ) و (y = k ) به ترتیب خطوط عمودی و افقی ایجاد می کنند. معادلات قطبی اساسی (r = h ) و ( theta = alpha ) به ترتیب حلقه ها و خطوط را از طریق قطب ایجاد می کنند. با این کار به عنوان یک پایه ، می توانیم عملکردهای قطبی پیچیده تری از فرم ایجاد کنیم (r = f ( theta) متن<.>) ورودی یک زاویه است. خروجی یک طول است ، تا چه حد در جهت زاویه بیرون رفتن.

ما این توابع را دقیقاً مانند ما توابع مستطیل و پارامتری ترسیم می کنیم: ما نقاط زیادی را ترسیم می کنیم و "نقاط را وصل می کنیم" با منحنی ها. ما این را در مثال زیر نشان می دهیم.

مثال 10. 4. 10. طراحی توابع قطبی.

عملکرد قطبی (r = 1+ cos ( theta) ) را روی ([0،2 pi] ) با ترسیم نقاط ترسیم کنید.

یک سؤال مشترک هنگام طراحی منحنی ها با ترسیم امتیاز این است که "کدام نقاط را باید ترسیم کنم؟"با معادلات مستطیل ، ما اغلب مقادیر "آسان" را انتخاب می کنیم - عدد صحیح ، سپس در صورت لزوم بیشتر اضافه کنیم. هنگام ترسیم معادلات قطبی ، با زاویه های "مشترک" شروع کنید - چند برابر ( pi/6 ) و ( pi/4 text<.>) شکل 10. 4. 11 جدول فقط چند مقدار از ( theta ) را در ([0 ، pi] متن ارائه می دهد<.>)

نقطه (p (2،0) ) را که توسط خط اول جدول تعیین شده است ، در نظر بگیرید. زاویه 0 رادیان است - ما از پرتوی اولیه نمی چرخیم - سپس 2 واحد از قطب بیرون می رویم. وقتی ( theta = pi/6 متن<,>) (r = 1. 866 ) (در واقع ، آن (1+ sqrt/2 ) است) ؛بنابراین توسط رادیان ( pi/6 ) بچرخید و 1. 866 واحد بیرون بروید.

نمودار نشان داده شده از نقاط بیشتری استفاده می کند ، که با خطوط مستقیم وصل می شوند..

شکل 10. 4. 11. نمودار یک عملکرد قطبی در مثال 10. 4. 10 با ترسیم امتیاز

Technology Note: Plotting functions in this way can be tedious, just as it was with rectangular functions. To obtain very accurate graphs, technology is a great aid. Most graphing calculators can plot polar functions; in the menu, set the plotting mode to something like polar or POL , depending on one's calculator. As with plotting parametric functions, the viewing “window” no longer determines the (x) -values that are plotted, so additional information needs to be provided. Often with the “window” settings are the settings for the begiing and ending ( heta) values (often called ( heta_>) and ( heta_>) ) as well as the ( heta_>) — that is, how far apart the ( heta) values are spaced. The smaller the ( heta_>) مقدار ، نمودار دقیق تر (که باعث افزایش زمان ترسیم می شود). با استفاده از فناوری ، ما عملکرد قطبی (r = 1+ cos ( theta) ) را از مثال 10. 4. 10 در شکل 10. 4. 12 ترسیم کردیم.

مثال 10. 4. 13. طراحی توابع قطبی.

عملکرد قطبی (r = cos (2 theta) ) را روی ([0،2 pi] ) با ترسیم نقاط ترسیم کنید.

ما با تهیه یک جدول از ( cos (2 theta) ) که در زاویه های مشترک ارزیابی می شود شروع می کنیم.<,>) همانطور که در شکل 10. 4. 14 نشان داده شده است. این نقاط سپس در شکل 10. 4. 15 ترسیم شده است. (الف). این نمودار خاص کاملاً کمی حرکت می کند و می توان به راحتی فراموش کرد که کدام نقاط باید به یکدیگر وصل شوند. برای کمک به ما در این مورد ، هر نقطه از جدول و روی نمودار را شماره گذاری کردیم.

شکل 10. 4. 15. توطئه های قطبی از مثال 10. 4. 13

گاهی اوقات مطلوب است که از طریق یک معادله قطبی و سایر اوقات توسط یک معادله مستطیل به یک نمودار مراجعه کنید. بنابراین لازم است که بتوانیم بین عملکردهای قطبی و مستطیل شکل بگیریم ، که در مثال زیر تمرین می کنیم. ما از هویت های موجود در ایده کلیدی 10. 4. 5 استفاده مکرر خواهیم کرد.

مثال 10. 4. 16. تبدیل بین معادلات مستطیل و قطبی.

از مستطیل به قطبی تبدیل کنید. ( displayStyle y = x^2 ) ( DisplayStyle XY = 1 ) از قطبی به مستطیل تبدیل کنید. ( displayStyle ds r = frac<2>) ( DisplayStyle r = 2 cos ( theta) ) (y ) را با (r sin ( theta) ) جایگزین کنید و (x ) را با (r cos ( theta) text جایگزین کنید<,>) دادن: شروع y amp = x^2 \ r sin ( theta) amp = r^2 cos^2 ( theta) \ frac amp = r end

ما دریافتیم که (r = sin ( theta) / cos^2 ( theta) = tan ( theta) sec ( theta) متن<.>) دامنه این عملکرد قطبی ((- pi/2 ، pi/2) text ) چند نکته را ترسیم کنید تا ببینید که چگونه پارابولا آشنا توسط معادله قطبی ردیابی می شود.

ما دوباره با استفاده از هویت های استاندارد ، (x ) و (y ) را جایگزین می کنیم و برای حل کردن برای (r text کار می کنیم<:>)

این عملکرد فقط زمانی معتبر است که محصول ( cos ( theta) sin ( theta) ) مثبت باشد. این در ربع های اول و سوم رخ می دهد ، به این معنی که دامنه این عملکرد قطبی ((0 ، pi/2) cup ( pi ، 3 pi/2) text است<.>) ما می توانیم معادله مستطیل اصلی (xy = 1 ) را به عنوان (y = 1/x text بازنویسی کنیم<.>) این در شکل 10. 4. 17 ترسیم شده است. توجه داشته باشید که چگونه فقط در ربع های اول و سوم وجود دارد.

هیچ راهی مشخص برای تبدیل از قطبی به مستطیل وجود ندارد. به طور کلی ، ما به دنبال تشکیل محصولات (r cos ( theta) ) و (r sin ( theta) text هستیم<,>) و سپس اینها را با (x ) و (y text جایگزین کنید<,>) به ترتیب. ما با ضرب هر دو طرف توسط ( sin ( theta) - cos ( theta) text ) در این مشکل شروع می کنیم.

شروع r amp = frac \ r ( sin ( theta) - cos ( theta)) amp = 2 \ r sin ( theta) -r cos ( theta) amp =2. qquad متن\ y-x amp = 2 \ y amp = x+2 متن<.>پایان

معادله قطبی اصلی ، (r = 2/( sin ( theta) - cos ( theta)) ) به راحتی نشان نمی دهد که نمودار آن به سادگی یک خط است. با این حال ، تبدیل ما نشان می دهد که اینگونه است. گالری آینده منحنی های قطبی معادلات کلی خطوط را به شکل قطبی ارائه می دهد.

با ضرب هر دو طرف توسط (متن r <,>) ما هر دو اصطلاح (r^2 ) و یک اصطلاح (r cos ( theta) ) را بدست می آوریم ، که ما با (x^2+y^2 ) جایگزین می کنیم و (x text<,>) به ترتیب.

شروع r amp = 2 cos ( theta) \ r^2 amp = 2r cos ( theta) \ x^2+y^2 amp = 2x. \ end ما این را به عنوان تشخیص می دهیمیک دایره ؛با تکمیل مربع می توانیم شعاع و مرکز آن را پیدا کنیم. شروع x^2-2x + y^2 amp = 0 \ (x-1)^2 + y^2 amp = 1 متن<.>پایان

این دایره در ((1،0) ) متمرکز شده است و دارای شعاع 1 است. گالری آینده منحنی های قطبی معادلات برخی حلقه ها را به شکل قطبی می دهد. محافل با مراکز دلخواه دارای معادله قطبی پیچیده ای هستند که ما در اینجا در نظر نمی گیریم.

برخی از منحنی ها دارای معادلات قطبی بسیار ساده اما مستطیل شکل پیچیده هستند. به عنوان مثال ، معادله (r = 1+ cos ( theta) ) یک قلبی را توصیف می کند (یک شکل مهم حساسیت میکروفون ها ، از جمله موارد دیگر ؛ یکی در گالری در بخش لیماچون). شکل مستطیل شکل تقریباً ساده نیست. این معادله ضمنی است (x^4+y^4+2x^2y^2-2xy^2-2x^3-y^2 = 0 متن<.>) تبدیل "سخت" نیست ، اما چندین مرحله را برداشته و به عنوان یک مشکل در بخش ورزش باقی مانده است.

گالری منحنی های قطبی

تعدادی منحنی قطبی اساسی و "کلاسیک" وجود دارد که به دلیل زیبایی و/یا کاربرد آنها در علوم مشهور است. این بخش با یک گالری کوچک از برخی از این نمودارها به پایان می رسد. ما خواننده را ترغیب می کنیم تا درک کند که چگونه این نمودارها شکل می گیرد و با استفاده از فناوری انواع دیگر عملکردهای قطبی تحقیق می کند.

خط شکل 10. 4. 18. حلقه ها و مارپیچ ها شکل 10. 4. 19. لیما متقارن درباره (x ) -axis: (r = a pm b cos ( theta) ) متقارن درباره (y ) -axis: (r = a pm b sin ( theta) text<;>) (a ، b gt 0 ) شکل 10. 4. 20. منحنی های گل رز متقارن درباره (x ) -axis: (r = a cos (n theta) ) متقارن درباره (y ) -axis: (r = a sin (n theta) ) منحنی حاوی گلبرگهای (2n ) هنگامی که (n ) یکنواخت است و (n ) گلبرگ ها وقتی (n ) عجیب است. شکل 10. 4. 21. منحنی های خاص شکل 10. 4. 22.

پیش از این بحث کردیم که چگونه هر نقطه از هواپیما نمایشی منحصر به فرد به شکل قطبی ندارد. این می تواند یک چیز "خوب" باشد ، زیرا این امکان را برای منحنی های زیبا و جالب مشاهده می کند که در گالری قبلی دیده می شود. با این حال ، این همچنین می تواند یک چیز "بد" باشد ، زیرا تعیین اینکه در آن دو منحنی از هم عبور می کنند دشوار است.

مثال 10. 4. 23. یافتن نقاط تقاطع با منحنی های قطبی.

تعیین کنید که نمودارهای معادلات قطبی (r = 1+3 cos ( theta) ) و (r = cos ( theta) ) تقاطع می کنند.

از آنجا که فناوری به طور کلی به راحتی در دسترس است ، معمولاً ایده خوبی است که با یک نمودار شروع کنید. ما دو عملکرد را در شکل 10. 4. 24 ترسیم کرده ایم. (الف) ؛برای تشخیص بهتر نقاط تقاطع ، شکل 10. 4. 24. (ب) در اطراف مبدا زوم می شود.

شکل 10. 4. 24. نمودارها برای تعیین نقاط تقاطع توابع قطبی ارائه شده در مثال 10. 4. 23

ما با تنظیم دو کارکرد برابر با یکدیگر و حل برای ( theTa Text شروع می کنیم<:>)

شروع 1+3 cos ( theta) amp = cos ( theta) \ 2 cos ( theta) amp = -1 \ cos ( theta) amp = - frac12 \ theta amp = frac<2pi>، frac<4pi> متن<.>پایان

(البته راه حل های نامتناهی برای معادله وجود دارد ( cos ( theta) = -1/2 متن<;>) همانطور که لیماون یک بار در ([[0،2 pi] text ) ردیابی می شود ، ما راه حل های خود را برای این بازه محدود می کنیم.)

ما باید این راه حل را تحلیل کنیم. هنگامی که ( theta = 2 pi/3 ) نقطه تقاطع موجود در ربع (4 ) را بدست می آوریم. وقتی ( theta = 4 pi/3 متن<,>) ما نقطه تقاطع را که در ربع دوم نهفته است ، می گیریم. در مورد این نقطه تقاطع دوم حرفهای بیشتری برای گفتن وجود دارد. دایره تعریف شده توسط (r = cos ( theta) ) یک بار در ([0 ، pi] text ردیابی می شود<,>) به این معنی که این نقطه از تقاطع هنگام ردیابی حلقه بار دوم رخ می دهد. به نظر می رسد که یک بار از این نقطه عبور کنید و سپس آن را به عنوان نقطه تقاطع فقط هنگام ورود به آنجا "بار دوم" تشخیص دهید. اولین باری که دایره در این مرحله می رسد ، زمانی است که ( theta = pi/3 متن<.>) مهم است که درک کنیم که این دو نکته یکسان هستند: (( cos ( pi/3) ، pi/3) ) و (( cos (4 pi/3) ، 4 pi/3) متن<.>)

برای خلاصه کردن کارهایی که تاکنون انجام داده ایم ، دو نقطه تقاطع پیدا کرده ایم: وقتی ( theta = 2 pi/3 ) و هنگامی که ( theta = 4 pi/3 text<.>) هنگام مراجعه به دایره (r = cos ( theta) text ) نکته دوم بهتر است همانطور که ( theta = pi/3 text<.>)

یک نقطه دیگر از تقاطع وجود دارد: قطب (یا مبدا). ما این نقطه تقاطع را با استفاده از کار خود در بالا تشخیص ندادیم زیرا هر نمودار با یک مقدار متفاوت ( theta ) به قطب می رسد.

یک نمودار در هنگام (R = 0 متن ، از قطب عبور می کند<.>) با توجه به دایره (r = cos ( theta) text ) (r = 0 ) وقتی ( theta = pi/2 ) (و چند برابر عجیب آن ، زیرا دایره بارها ردیابی می شود). لیماون هنگامی که (1+3 cos ( theta) = 0 text ) از قطب عبور می کند ، این اتفاق می افتد که ( cos ( theta) = -1/3 text ) یا برای ( theta = cos^(-1/3) متن<.>) این یک زاویه غیر استاندارد است ، تقریباً ( theta = 1. 9106 = 109. 47^ circ text<.>) Limaçon قطب را دو بار در ([0،2 pi] text ) از زاویه دیگر که در آن لیماون در قطب قرار دارد ، بازتاب زاویه اول در سراسر (x ) است. یعنی ( theta = 4. 3726 = 250. 53^ circ text<.>)

اگر همه مربوط به همه آنها باشد ، مختصات ((x ، y) ) است که در آن نمودارها در آن تلاقی می کنند ، بخش اعظم کارهای فوق بی حسی است. ما می دانیم که آنها در متن ((0)) متقاطع هستند<;>) ما ممکن است به ارزش ( theta ) اهمیت ندهیم. به همین ترتیب ، با استفاده از ( theta = 2 pi/3 ) و ( theta = 4 pi/3 ) می تواند مختصات مستطیل مورد نیاز را به ما بدهد. با این حال ، در بخش بعدی ما مفاهیم حساب را در توابع قطبی اعمال می کنیم. هنگام محاسبه مساحت منطقه ای که توسط منحنی های قطبی محدود شده است ، درک تفاوت های ظریف نقاط تقاطع مهم می شود.