تئوری شکل گیری الگوی در شبکه های کارگردانی

فرآیندهای دینامیکی در شبکه ها علاقه گسترده ای در سالهای اخیر ایجاد کرده اند. تئوری شکل گیری الگوی در سیستم های واکنش- دفاعی تعریف شده در شبکه های متقارن اغلب به دلیل کاربردهای آن در طیف گسترده ای از رشته ها مورد بررسی قرار گرفته است. در اینجا ما این تئوری را در مورد شبکه های کارگردانی ، که در تعدادی از زمینه های مختلف مانند علوم اعصاب ، شبکه های رایانه ای و سیستم های راهنمایی و رانندگی یافت می شود ، گسترش می دهیم. با توجه به ساختار شبکه Laplacian ، رابطه پراکندگی هر دو بخش واقعی و خیالی دارد ، در واریانس پرونده برای یک شبکه متقارن و غیر مستقیم. نقطه ثابت همگن به دلیل توپولوژی شبکه می تواند ناپایدار شود و در نتیجه کلاس جدیدی از بی ثباتی ها ایجاد شود که نمی تواند در نمودارهای غیر مستقیم القا شود. نتایج حاصل از تجزیه و تحلیل پایداری خطی باعث می شود منطقه ناپایداری از نظر تحلیلی ردیابی شود. شبیه سازی های عددی بسته به ویژگی های نمودار زیرین ، امواج مسافرتی یا الگوهای شبه ثابت را نشان می دهد.

معرفی

ساختارهای خود سازمان یافته می توانند به طور خودجوش از یک دریای پیچیده از ترکیبات میکروسکوپی و متقابل بیرون بیایند. این یک مشاهدات گسترده در طبیعت است که اکنون به عنوان یک مفهوم پارادایم در علم پذیرفته شده است ، با بسیاری از کاربردهای مختلف از زیست شناسی گرفته تا فیزیک. از این رو ، مشخص کردن فرآیندهای کلیدی که به ارمغان می آورند الگوهای مرتفع ماکروسکوپی یک زمینه جالب برای بررسی ، در خط مقدم بسیاری از تحولات هیجان انگیز است.

به عنوان مثال ، بی ثباتی تورینگ 1 مکانیسم جهانی برای تولید خود به خود الگوهای مکانی سازمان یافته را تشکیل می دهد. این به طور رسمی در مورد دسته گسترده ای از پدیده ها اعمال می شود ، که می توان از طریق طرح های واکنش- دفاعی 2،3،4،5،6،7،8،9،10 مدل سازی کرد. این مدلهای ریاضی تکامل همراه گونه های توزیع شده فضایی را توصیف می کنند ، که توسط واکنشهای میکروسکوپی هدایت می شوند و آزادانه در محیط تعبیه می شوند. انتشار به طور بالقوه می تواند با آشفتگی حالت میانگین همگن ، از طریق یک مکانیسم فعال کننده و مهارکننده ، ناپایداری را بذر ، و در نتیجه ظهور یک توزیع چگالی لکه دار ، از نظر مکانی ناهمگن انجام شود. نمونه های حیرت انگیز در مورفوژنز ، شاخه جنین شناسی اختصاص یافته به بررسی الگوهای و اشکال در زیست شناسی 11 یافت می شود. علاوه بر این ، الگوهای مکانی فعال سازی قشر مغز مشاهده شده با الکتروانسفالوگرافی ، مغناطیسفالوگرافی و تصویربرداری با رزونانس مغناطیسی عملکردی که از خود سازماندهی خود به خودی جمعیت های تعامل نورون های تحریکی و مهاری 12 سرچشمه گرفته است. در این حالت ، امواج مسافرتی همچنین می توانند به دنبال بی ثباتی تقارن یک نقطه ثابت همگن 13 ایجاد شوند. این مدل ها معمولاً بر روی یک شبکه معمولی یا پشتیبانی مداوم تعریف می شوند و تأکید بر شکل تعامل های غیرخطی که مسئول بی ثباتی هستند ، تأکید می شود.

برای یک کلاس بزرگ از مشکلات ، از جمله برنامه های کاربردی در علوم اعصاب ، سیستم تحت نظارت بر روی شبکه تعریف می شود و نه در یک شبکه معمولی. کار اصلی Othmer and Scriven 14،15 توضیحی از شکل گیری الگوی در یک شبکه را ارائه می دهد ، که در سالهای بعدی ساخته شده است ، در تعدادی از جهات مختلف 16،17،18. مقاله ای که در اینجا ارائه شده است ، مقاله Nakao و Mikhailov 19 است ، جایی که نویسندگان اثرات ساختارهای نمودار پیچیده را در ظهور الگوهای تورینگ در سیستم های پراکنده غیرخطی بررسی کرده اند و راه را برای اکتشافات جدید در منطقه مورد علاقه گسترده قرار می دهند. شرایط ناپایداری قطعی پس از تجزیه و تحلیل پایداری خطی ، که نیاز به گسترش آشفتگی بر اساس کامل تشکیل شده توسط مجرای ویژه لاپلاسی گسسته دارد ، حاصل می شود. امواج مسافرتی همچنین می توانند از طریق یک مکانیسم مشابه 20 ایجاد شوند. تا به امروز ، شبکه های متقارن (غیر مستقیم) در ادبیات در نظر گرفته شده اند. مجدداً ، بی ثباتی ناشی از تعامل غیر مهم بین غیرخطی ها ، به دلیل واکنش ها و شرایط انتشار است. توپولوژی فضا جهت های مربوط به گسترش آشفتگی را مشخص می کند ، اما نمی تواند در شروع بی ثباتی تورینگ تأثیر بگذارد. به عنوان مثال ، یک سیستم واکنش و واکنش را در یک شبکه معمولی تعریف کنید و فرض کنید که نمی تواند یک بی ثباتی مانند تورینگ را تجربه کند: این سیستم هنگام قرار دادن در بالای یک شبکه متقارن ، نمی تواند ناپایدار باشد. به عبارت دیگر ، ساختار نمودار زیرین نمی تواند یک طرح در غیر این صورت پایدار را بی ثبات کند: توانایی ذاتی مدل برای سازماندهی خود در فضا و زمان با اصطلاحات واکنش تعیین می شود. در اینجا ما به یک بی ثباتی ناشی از آشفتگی محلی یک نقطه ثابت همگن پایدار اشاره می کنیم. گزینه های مختلف لاپلاسی ، که نقاط ثابت غیر همگن را امکان پذیر می کند ، می تواند ناپایداری های عمومی را به همراه داشته باشد ، همانطور که در Ref توضیح داده شده است. 21

با این حال ، در برنامه ها ، شبکه ها همیشه متقارن نیستند ("غیرمجاز"). غالباً این مورد است که اتصال بین دو گره از جهت خاصی برخوردار است ، به این معنی که نمودار حاصل هدایت می شود. به عنوان مثال ، از الگوهای جریان تحرک انسان با عواقب آنها برای طراحی حمل و نقل و کنترل اپیدمی فکر کنید. چندین مسیر را می توان فقط در یک جهت عبور داد ، بنابراین تقارن بین جفت گره ها را از دست می دهد. اینترنت و سایبری های سایبر نیز با یک مسیریابی نامتقارن پیوندها مشخص می شوند. تقارن ترافیک به طور معمول برای مکان های شبکه فراتر از Intranet و Links Access 22 نگه نمی دارد. نقشه اتصال عصبی در مغز نیز به دلیل فیزیولوژی نورونها 23 نامتقارن است. این را می توان در مدل های Coectome 24،25،26 ، نقشه های درشت دانه مغز مشاهده کرد ، که ترتیبات نامتقارن اتصالات را در مقیاس های مختلف مکانی نشان می دهد.

با انگیزه از این مشاهده ، ما نشان می دهیم که بی ثباتی های محور توپولوژی می توانند برای سیستم های واکنش-دفاعی در نمودارهای کارگردانی ایجاد شوند ، حتی اگر سیستم مورد بررسی در صورت تعریف بر روی یک شبکه منظم ، نتواند بی ثباتی مانند تورینگ یا موج را تجربه کند. این با رفتار شبکه های متقارن مغایرت دارد. بنابراین ، ویژگی های پشتیبانی فضایی که میزبان گونه های تعامل است ، نقش مهمی را ایفا می کند ، که اغلب در ادبیات مورد غفلت قرار می گیرد. در نتیجه ، تجزیه و تحلیل ما نشان دهنده یک پسوند قابل توجه در مدل سازی سیستم های واکن ش-دفاعی است. قوانین دینامیکی تعامل ، که توجه ماژورها تاکنون صرفاً اختصاص داده شده است ، تنها تحریک کننده الگوهای خود سازمان یافته دیده شده در برنامه های دنیای واقعی نیستند. توپولوژی فضا نیز مهم است و به طور قابل توجهی بر شرایطی تأثیر می گذارد که بی ثباتی دینامیکی را به همراه دارد. این دیدگاه جدید همچنین ممکن است به دلایلی که به نظر می رسد انتخاب تکاملی ساختارهای شبکه مانند در سازماندهی ماده زندگی در مقیاس های مختلف است ، اشاره کند. به عنوان مثال ، پویایی تحریکی و مهاری نورون ها و چیدمان مکانی آنها دو ماده ای هستند که نمی توانند از نظر بی اهمیت از بین بروند ، با توجه به ساختار عجیب و غریب دوم ، اولین مورد بهینه سازی شده برای خدمت به عملکرد جهانی مغز است.

مقاله بصورت زیر مرتب شده است. ما با بحث در مورد ریاضیات واکنش- دفاعی در یک شبکه شروع می کنیم تا پیش زمینه ای را برای آنچه دنبال می شود ارائه دهیم. در مرحله بعد ، ما تئوری عمومی شکل گیری الگوی را در یک شبکه کارگردانی توسعه می دهیم. ما این تئوری را برای مدلهای خاص ، برای انتخاب های مختلف شبکه های اساسی و استفاده از دو تعریف قابل قبول از اپراتور لاپلاسی ، آزمایش می کنیم. امواج مسافرتی و ثابت در الگوهای همگن با تغییر ویژگی های توپولوژیکی نمودارها بدست می آیند ، در حالی که پارامترها را به مقادیری که الگوها نمی توانند ظهور کنند وقتی مدل بر روی یک پشتیبانی مکانی متقارن تعریف می شود ، ایجاد شود.

نتایج

زمینه

ما با در نظر گرفتن یک شبکه ساخته شده از گره های ω شروع می کنیم و توسط ماتریس مجاورت ω × ω مشخص می شود: ورودی w_IJاگر گره های I و J (با I ≠ J) به هم وصل شوند ، برابر است و در غیر این صورت صفر است. اگر شبکه بدون کارگردانی باشد ، ماتریس W متقارن است. سپس دو گونه تعامل را در نظر بگیرید و با (φ_من، ψ_من) غلظت مربوط به آنها در گره I. یک سیستم واکنش عمومی - دفاعی تعریف شده در شبکه شکل می گیرد:

جایی که D_φو د_ψضرایب انتشار ، به ترتیب ، گونه های φ و ψ را نشان می دهد. f (· ، ·) و g (· ، ·) توابع غیرخطی غلظت ها هستند و برای شرایط واکنش ایستاده اند. δ_IJ= W_IJ- k_منδ_IJشبکه لاپلاسی است ، جایی که k_منبه اتصال گره I و δ اشاره دارد_IJدلتای Kronecker است. اکنون تصور کنید که سیستم (1) یک نقطه ثابت همگن را پذیرفته است ، که ما آن را برچسب می زنیم (φ *، ψ *). این به معنای f (φ *، ψ *) = g (φ *، ψ *) = 0 است. ما همچنین نیاز داریم که نقطه ثابت پایدار باشد ، یعنی Tr (j) = F_φ+ گرم_ψj) = f_φجف_ψ- f_ψجف_φ>0 ، جایی که J Jacobian از (1) در (φ *، ψ *) و f ارزیابی شده است_φ(احترام. f_ψ) مشتقات F را با توجه به φ (به ترتیب ψ) و به طور مشابه برای g نشان می دهد_φو g_ψ.

الگوهای بوجود می آیند که (φ *، ψ *) با توجه به آشفتگی های ناهمگن ناپایدار شود. برای جستجوی ناپایداری ها ، می توان یک آشفتگی کوچک را معرفی کرد (Δφ_من، Δφ_من) به نقطه ثابت و خطی در اطراف آن. با انجام این کار ، معادله (12) دریافت می کند (روش ها را ببینید). برای شبکه های منظم ، از تبدیل فوریه معمولاً برای حل این سیستم خطی معادلات استفاده می شود. هنگامی که سیستم به جای آن در یک شبکه تعریف می شود ، باید یک روش متفاوت 19،20 دنبال شود. برای این منظور ، ما مقادیر ویژه و ویژه اپراتور لاپلاسی را تعریف می کنیم:

هنگامی که شبکه بدون کارگردانی است ، لاپلاسی استاندارد متقارن است. بنابراین ، مقادیر ویژه λ (α) واقعی هستند و eigenvectors υ (α) یک مبنای متعامد تشکیل می دهند. این شرایط باید هنگام برخورد با تنظیمات کلی تر یک نمودار کارگردانی ، که در زیر بخش بعدی بحث خواهیم کرد ، آرام شود. آشفتگی های ناهمگن Δφ_منو Δψ_منمی تواند به عنوان:

ثابت C_αو ب_αبه شرایط اولیه بستگی دارد. با وارد کردن عبارات فوق در معادله (12) (روش ها را ببینید) رابطه پراکندگی را بدست می آورد

که پاسخ سیستم در معادله (1) به آشفتگی های خارجی را مشخص می کند. اینجا j_αماتریس اصلاح شده ژاکوبیان است که برای کمک به انتشار حساب می کند. این مقدار در بخش Methods تعریف شده است.

ما استفاده می کنیم (λ_α)_Reو (λ_α)_Imبه ترتیب ، به ترتیب ، قسمت های واقعی و خیالی λ (λ (α)) را نشان می دهد. if (λ_α)_Re>0 ، نقطه ثابت ناپایدار است و سیستم الگویی را نشان می دهد که خصوصیات مکانی آن در λ (α) رمزگذاری شده است. این الگوهای مشهور تورینگ ، نقوش مکانی غیر همگن پایدار است که ناشی از تقویت رزونانس از آشفتگی اولیه نقطه ثابت همگن است. مقدار λ (α) آنالوگ طول موج برای یک الگوی مکانی در یک سیستم تعریف شده بر روی یک شبکه منظم مداوم است. در این حالت ، λ (α) ≡− q 2 ، که در آن Q فرکانس فوریه مکانی معمول را نشان می دهد.

می توان ثابت کرد که برای نمودارهای متقارن ، تمام مقادیر غیر مهم λ (α) منفی هستند. از این رو ، tr j_α= Tr J +(D_φ+ D_ψ) λ (α) j_α= Det J +(j₁₁د_ψ+ j₂₂د_φ) λ (α) + D_ψد_φ(λ (α)) 2

هنگامی که مقدار فوق منفی است ، بی ثباتی تورینگ در یک شبکه معمولی یا در یک شبکه متقارن پیچیده ، نمی تواند اتفاق بیفتد. با یادآوری این که Tr J = J می توان در مورد پیامدهای معادله (5) توضیح داد₁₁+ j₂₂J ₁₁و j₂₂علائم متضاد داشته باشید. بدون از دست دادن کلی ، ما آخرت را فرض می کنیم J₁₁>0 ، و در نتیجه j₂₂J ₂₂|>j₁₁به منظور داشتن TR J φ ، به عنوان یک فعال کننده عمل می کند ، در حالی که دوم ، ψ ، مهار کننده است. کار در این تنظیم ، آموزنده است که شرایط محدود کننده را در نظر بگیرید_ψ= 0: فقط فعال کننده ها (D_φ≠ 0) می تواند پراکنده شود. شرایط لازم (5) به j کاهش می یابد₂₂د_φ>0 ، که هرگز به عنوان J راضی نیست₂₂D _ψ≠ 0 ، و فعال کننده D را ثابت کرد_φ=0. In fact, from the dispersion relation (4), it follows that all modes with |Λ α |>Det J /(D_ψj₁₁) هر دو با پشتیبانی مداوم یا گسسته ناپایدار هستند. در گذشته ، تعداد حالت های ناپایدار بی نهایت است ، در حالی که در حالت دوم محدود است. در هر دو مورد ، ناپایداری شامل مقیاس مکانی کوچکتر و کوچکتر است و بنابراین به عنوان یک بی ثباتی طول موج کوتاه نامیده می شود. در مورد گسسته ، و از آنجا که مجموعه ای از حالت های ناپایدار محدود (و محدود) است ، بی ثباتی می تواند باعث ظهور الگوهای پایدار ثابت شود.

ما این بخش را با یک اظهارات مهم به پایان می رسانیم. به عنوان tr j_αλ _α)_Re>0 ، و در عین حال یک مؤلفه خیالی از رابطه پراکندگی ، (λ_α)_Im، متفاوت از صفر. در عوض این امکان وجود دارد که در یک محیط کار می کند که امکان اتصالات دوربرد را در شرایط واکنش 28 یا هنگام در نظر گرفتن حداقل سه گونه متقابل متقابل 13،20 فراهم می کند. یک سیستم ناپایدار برای λ (α) ≠ 0 و با مربوطه (λ_α)_Imگفته می شود ≠ 0 ناپایداری موج را پشت سر می گذارد و الگوهای در حال ظهور شکل امواج مسافرتی 28 را دارند. همانطور که در زیر بحث خواهیم کرد ، سناریوی کلی که در اینجا بیان کرده ایم ، هنگامی که سیستم واکن ش-دیفرم روی یک نمودار کارگردانی کار می کند ، به طور چشمگیری تغییر می کند و نه در یک شبکه متقارن.

نظریه شکل گیری الگوی در یک شبکه کارگردانی

اکنون ما به بررسی پرونده یک نمودار کارگردانی می پردازیم. در این حالت ، ماتریس مجاور W دیگر متقارن و ورودی های آن نیست_IJ، اگر برابر با 1 باشد ، وجود یک لبه را از گره I به J نشان دهید. اکنون ، به خارج از گره I ، که به عنوان تعداد لبه های خروجی از گره I تعریف شده است ، اشاره دارد. اپراتور لاپلاسی همراه را می توان به عنوان δ تعریف کرد_IJ= W_IJ- k_منδ_IJ، همانطور که به طور معمول در برنامه های کنترل تعاونی 29 انجام می شود ، به عنوان مثال ، سیستم های حمل و نقل هوشمند ، مسیریابی ارتباطات و شبکه های شبکه برق. گسترش مواد فیزیکی یا شیمیایی ، به جای محتوای اطلاعات ، نیاز به تحمیل حفاظت از جرم دارد ، که منجر به فرمولاسیون متفاوتی از اپراتور لاپلاسی 30 می شود ، جایی که W_IJبه طور رسمی توسط W جایگزین می شود_جویدر تعریف δ_IJ، همانطور که می توان به راحتی از یک مشتق میکروسکوپی ساده بدست آورد. واضح است که ، دو اپراتور همزمان هستند ، وقتی در یک شبکه متقارن تعریف می شوند.

برای یک نمودار کارگردانی ، مقادیر ویژه هر دو اپراتور لاپلاسی ، به طور کلی پیچیده خواهند بود ، λ (α) ε c. این خاصیت مستلزم توسعه یک تئوری کلی از بی ثباتی ها است و تجزیه و تحلیل ذکر شده در بخش قبلی را گسترش می دهد. طبق معمول ، ما یک نقطه ثابت همگن پایدار را فرض خواهیم کرد ، که باید یک راه حل از سیستم گسترده ای از معادلات باشد. این نسخه حاکی از برخورد با یک شبکه متعادل است (اتصال خروجی با یک ورودی برابر است) ، هنگامی که انتشار fickean از موجودات مادی به δ پرداخته می شود_IJ= W_جوی- k_منδ_IJ، در حالی که هیچ فرضیه اضافی در مورد ساختار پشتیبانی مکانی در صورت انجام عملگر Δ انجام نمی شود_IJ= W_IJ- k_منδ_IJ is used. The case of unbalanced networks could be also addressed, provided one linearizes equation (1) around a non-homogeneous state 21,31 . This more technical extension will be discussed elsewhere, as here the aim is to provide a pedagogical introduction to the novel class of topology-driven instabilities. We indicate with J the Jacobian matrix associated with the homogeneous fixed point. The stability of the fixed point implies tr J J>0. برای ادامه تجزیه و تحلیل پایداری خطی ، باید اطمینان حاصل کنیم که Eigenvectors بطور خطی مستقل هستند. این همیشه در صورت هدایت نمودار زیرین نیست. به همین دلیل ، قابلیت مورب بودن ماتریس لاپلاسی یک نیاز حداقل برای برآورده کردن در درمان تحلیلی ما از مشکل پایداری خواهد بود. در حقیقت ، حتی بدون مبنای کامل ، می توان از ویروسهای عمومی برای پیشرفت استفاده کرد. در این حالت ، با این حال ، الگوهای ممکن است ظهور کنند ، حتی اگر بخش واقعی رابطه پراکندگی در همه جا منفی باشد ، به دلیل یک فرآیند رشد زودگذر 32.

معرفی یک آشفتگی ناهمگن (Δφ_من، Δψ_من) و خطی کردن در اطراف آن ، سرانجام یک رابطه پراکندگی به دست می آورد ، به طور رسمی با معادله (4) ، که در حال حاضر λ (α) یک مقدار پیچیده است. برای سادگی ، و با معنای آشکار نماد ، ما می نویسیم ، جایی که ، همانطور که طیف ماتریس لاپلاسی با توجه به قضیه دایره Gerschgorin 33 ، در نیمه سمت چپ هواپیمای پیچیده قرار می گیرد. یک دستکاری جبری ساده روابط اولیه زیر را به دست می آورد:

جایی که (·)_Reو (·)_Imقسمت های واقعی و خیالی کمیت را بین براکت ها انتخاب کنید. برای مطالعه رابطه پراکندگی (4) ، ما باید از یک خاصیت ابتدایی ریشه مربع یک عدد پیچیده z = a + bi استفاده کنیم ، یعنی این

جایی که SGN (·) تابع علامت استاندارد است. با توجه به این ملاحظات ، رابطه پراکندگی را می توان به شکل: