مثلث پاسکال

مثلث پاسکال نوعی الگوی شماره است. مثلث پاسکال ترتیب مثلثی اعداد است که ضرایب را در گسترش هر بیان دوتایی می دهد. اعداد آنقدر مرتب شده اند که به عنوان مثلث منعکس می شوند. در مرحله اول ، 1 در بالا قرار می گیرد ، و سپس ما شروع به قرار دادن اعداد در یک الگوی مثلثی می کنیم. اعدادی که در هر مرحله به دست می آوریم ، افزودن دو شماره فوق است. این شبیه به مفهوم اعداد مثلثی است. در این مقاله ، ما قصد داریم تاریخچه مثلث ، تعریف ، خواص ، الگوهای ، فرمول ها و نمونه ها را با توضیح کامل یاد بگیریم.

فهرست مطالب:

تاریخچه مثلث پاسکال

بلیز پاسکال در 19 ژوئن 1623 در کلرمونت-فرند ، در منطقه اوورگن فرانسه متولد شد. در سال 1653 او رساله را در مورد مثلث حسابی که امروزه به عنوان مثلث پاسکال شناخته می شود ، نوشت. اگرچه سایر ریاضیدانان در ایران و چین به طور مستقل مثلث را در قرن یازدهم کشف کرده بودند ، اما بیشتر خواص و کاربردهای مثلث توسط پاسکال کشف شد.

این مثلث از بسیاری از کمک های پاسکال در ریاضیات بود. وی همچنین در هندسه با قضایای قابل توجهی روبرو شد ، پایه های احتمال و حساب را کشف کرد و همچنین محاسبه کننده پاسکالین را اختراع کرد. با این وجود ، او بیشتر به دلیل مشارکت خود در مثلث پاسکال شناخته شده است.

تعریف مثلث پاسکال

بیشتر افراد از طریق مجموعه ای از قوانین خودسرانه با مثلث پاسکال آشنا می شوند. با 1 در بالا و با 1 طرف یک مثلث شروع کنید. هر عدد جدید بین دو عدد و زیر آنها قرار دارد و مقدار آن مجموع دو عدد بالای آن است. مثلث نظری بی نهایت است و برای همیشه به سمت پایین ادامه می یابد ، اما فقط 6 خط اول در شکل 1 ظاهر می شود. ردیف های بیشتری از مثلث پاسکال در آخرین شکل این مقاله ذکر شده است. یک روش متفاوت برای توصیف مثلث این است که خط اول یک دنباله نامحدود از صفرها به جز یک واحد 1 است. برای به دست آوردن خطوط پی در پی ، هر جفت مجاور از اعداد را اضافه کرده و جمع را بین و زیر آنها بنویسید. قسمت غیر صفر مثلث پاسکال است.

ساخت مثلث پاسکال

ساده ترین راه برای ساخت مثلث شروع به کار در ردیف صفر و نوشتن فقط شماره یک است. از آنجا ، برای به دست آوردن اعداد در ردیف های زیر ، شماره را مستقیماً در بالا و سمت چپ شماره با شماره بالا و به سمت راست آن اضافه کنید. اگر در سمت چپ یا راست هیچ شماره ای وجود ندارد ، صفر را برای آن شماره گمشده جایگزین کنید و علاوه بر این ادامه دهید. در اینجا تصویری از ردیف های صفر تا پنج است.

از شکل فوق ، اگر به صورت مورب ببینیم ، خط اول مورب لیست مواردی است ، خط دوم لیست شماره های شمارش است ، مورب سوم لیست اعداد مثلثی و غیره است.

فرمول مثلث پاسکال

فرمول پیدا کردن یک عنصر در ردیف نهم و ستون KTH مثلث پاسکال توسط:

عناصر ردیف ها و ستون های زیر را می توان با استفاده از فرمول ذکر شده در زیر یافت:

در اینجا ، n هر عدد صحیح غیر منفی و 0 ≤ k ≤ n است.

نماد فوق را می توان به شرح زیر نوشت:

این الگوی دریافت ضرایب دوتایی را قانون پاسکال نامیده می شود.

گسترش مثلث پاسکال

مثلث پاسکال ضرایب موجود در انبساط های دوتایی را تعریف می کند. این بدان معنی است که ردیف نهم مثلث پاسکال شامل ضرایب بیان گسترده چند جمله ای (x + y) n است.

گسترش (x + y) n:

(x + y) n = a₀x n + a₁x n-1 y + a₂x n-2 y 2 +… + a_n-1xy n-1 + a_ny n

جایی که ضرایب فرم a_kدقیقاً اعداد موجود در ردیف نهم مثلث پاسکال هستند. این می تواند به صورت زیر بیان شود:

به عنوان مثال ، بگذارید عبارت (x + y) n را برای n = 3 گسترش دهیم.

(x + y) 3 = 3 c₀x 3 + 3 c₁x 2 y + 3 c₂xy 2 + 3 c₃x 0 y 3

= (1) x 3 + (3) x 2 y + (3) xy 2 + (1) y 3

در اینجا ، ضرایب 1 ، 3 ، 3 ، 1 عناصر موجود در ردیف 3 مثلث پاسکال را نشان می دهد.

چگونه از مثلث پاسکال استفاده کنیم؟

مثلث پاسکال را می توان در شرایط مختلف احتمال استفاده کرد. فرض کنید اگر ما یک بار سکه را پرتاب می کنیم ، فقط دو امکان برای دریافت نتیجه وجود دارد ، یا سر (ساعت) یا دم (t).

اگر ما آن را دو بار پرتاب کنیم ، یک احتمال وجود دارد که هر دو سر HH و هر دو به عنوان دم TT را بدست آوریم ، اما دو امکان برای گرفتن حداقل یک سر یا دم وجود دارد ، یعنی HT یا TH.

اکنون ممکن است در نظر بگیرید که مثلث پاسکال در اینجا کمک خواهد کرد. بنابراین ، جدول ارائه شده در اینجا را بر اساس تعداد پرتاب ها و نتایج مشاهده می کنیم.

ما همچنین می توانیم با افزایش تعداد پرتاب ها ، آن را گسترش دهیم.

الگوهای مثلث پاسکال

افزودن ردیف ها

یکی از خصوصیات جالب مثلث این است که تعداد اعداد در یک ردیف برابر با 2 N است

جایی که n با تعداد ردیف مطابقت دارد:

1 + 2 + 1 = 4 = 2 2

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4

اعداد اصلی در مثلث

الگوی دیگری که در مثلث قابل مشاهده است با شماره های اصلی سروکار دارد. اگر یک ردیف با یک شماره اصلی شروع شود یا یک ردیف شماره دار باشد ، تمام اعداد موجود در آن ردیف (عدم شمارش 1) توسط آن نخست قابل تقسیم است. اگر به ردیف 5 (1 5 10 10 51) نگاه کنیم ، می توانیم ببینیم که 5 و 10 توسط 5 قابل تقسیم هستند. با این حال ، برای یک ردیف شماره دار کامپوزیت ، مانند ردیف 8 (1 8 28 56 70 56 28 8 1)28 و 70 توسط 8 قابل تقسیم نیستند.

توالی فیبوناچی در مثلث

با افزودن اعداد موجود در مورب مثلث پاسکال ، توالی فیبوناچی را می توان همانطور که در شکل زیر مشاهده می شود بدست آورد.

روش های مختلفی برای نشان دادن اعداد فیبوناچی در مثلث پاسکال وجود دارد. R. Knott توانست فیبوناچی ها را به عنوان مبالغی از "ردیف ها" در مثلث پاسکال پیدا کند. او تمام ردیف ها را به یک مکان منتقل کرد و در اینجا مبالغ ستون ها تعداد فیبوناچی را نشان می دهد.