مجموعه جدیدی از ابزارهای مالی

Abootaleb Shirvani 1 * ، Stoyan V. Stoyanov 2 ، Svetlozar T. Rachev 1 and Frank J. Fabozzi 3

• 1 گروه ریاضیات و آمار ، دانشگاه فناوری تگزاس ، لوبوک ، TX ، ایالات متحده
• 2 شرکت چارلز شواب ، سانفرانسیسکو ، کالیفرنیا ، ایالات متحده
• 3 مدرسه تجارت Edhec ، خوب ، فرانسه

در بازارهای کامل دارایی های خطرناک و دارایی بی خطر وجود دارد. فرض بر این است که دارایی بی خطر و دارایی خطرناک به طور مداوم به موقع معامله می شوند و بازار بدون اصطکاک است. در این مقاله ، ما یک روش جدید برای مشتقات محافظت از سرپرستی ارائه می دهیم که فرض می کند یک پرچین همیشه نباید به تجارت دارایی های موجود که برای تشکیل یک سبد خطی متشکل از دارایی های پرخطر ، دارایی بی خطر و مشتقات استاندارد استفاده می شود ، تکیه کند ، بلکه باید طراحی کند ، بلکه باید طراحی کند. مجموعه ای از ابزارهای مالی خاص و مناسب برای مشکل محافظت. ما دنباله ای از ابزارهای مالی جدید را که به بهترین وجه برای محافظت از مدل های بازار پرش و استفاده از نوسانات تصادفی مناسب است ، معرفی می کنیم. ابزارهای جدیدی که ما معرفی می کنیم مشتقات دائمی هستند. به طور خاص ، آنها گزینه هایی با سررسید دائمی هستند. در یک بازار مالی که مشتقات دائمی در آن معرفی می شود ، مجموعه جدیدی از معادلات دیفرانسیل جزئی و جزئی-اینتگرو برای مشتقات قیمت گذاری وجود دارد. تجزیه و تحلیل ما نشان می دهد که مجموعه ای از ابزارهای مالی جدید به همراه یک اندازه گیری ریسک به نام اندازه گیری نسبت ضرر که توسط سری بازگشت ابزار جدید تعریف شده است می تواند به طور بالقوه به عنوان یک سیستم هشدار اولیه برای یک سقوط بازار استفاده شود.

1. معرفی

در بازارهای کامل دارایی های خطرناک (مانند سهام) و دارایی بی خطر (مانند اوراق قرضه تضمین شده دولت) وجود دارد. دارایی خطرناک و دارایی بی خطر به طور مداوم به موقع معامله می شود و فرض می شود که بازار بدون اصطکاک است. این دارایی ها به "دارایی های اساسی" گفته می شود. با توجه به مشتق دارایی های اساسی دارایی های خطرناک و بی خطر ، قیمت مشتق بر قیمت دارایی های خطرناک و قیمت دارایی بی خطر است. یعنی نظریه قیمت گذاری مشروط به ما می گوید که روند قیمت مشتق با فرآیند قیمت یک نمونه کارها خود تأمین مالی متشکل از این دارایی های موجود تکرار می شود.

در این مقاله دارایی های خطرناک جدیدی را معرفی می کنیم که ما به عنوان دارایی های تجاری پیشنهاد می کنیم (یعنی ، به طور مداوم برای تجارت در دسترس است). دارایی های خطرناک جدید پیشنهادی در صورت پذیرش توسط بازار به عنوان دارایی قابل معامله ، دارایی های جدیدی خواهند بود. این دارایی های جدید گزینه های دائمی هستند (یعنی گزینه هایی با سررسید دائمی). از آنجا که مشتقات دائمی پیشنهادی اطلاعات مربوط به دارایی ریسک پذیر ، یک دارایی بی خطر و نوسانات دارایی ریسک پذیر را شامل می شوند ، آنها به طور بالقوه می توانند نسبت به خود دارایی های اساسی مورد توجه شرکت کنندگان در بازار باشند. به نوعی ، ابزارهای مالی دائمی ما پرتفوی است که توسط دارایی ریسک پذیر هدایت می شوند ، و ما آن را به عنوان یک محصول بالقوه قابل معامله پیشنهاد می کنیم. ما معتقدیم که معرفی این مجموعه جدید از ابزارهای مالی به افزایش کارآیی بازار کمک خواهد کرد. از آنجا که بازارهای واقعی کامل نیستند ، معرفی ابزارهای مالی پیشنهادی به نفع بازارهای مالی واقعی است.

البته یک سؤال طبیعی این است که در بازارهای کامل در حال حاضر ادعاهای احتمالی معامله شده است (تماس و تماس) ، بنابراین چرا داشتن ابزارهای مالی جدید برای پوشیدن ضروری است؟جواب ساده است. این امر به این دلیل است که گزینه های معامله شده موجود زمان بلوغ دارند و ارزش آنها به زمان بلوغ بستگی دارد. یک ابزار نگهدارنده ارجح فقط باید به 1) زمان فعلی ، 2) ارزش فعلی دارایی زیرین بستگی داشته باشد ، 3) نرخ سود بی خطر غالب و 4) ارزش فعلی نوسانات دارایی. این نباید به زمان بلوغ گزینه بستگی داشته باشد. این ویژگی مهم مجموعه ای از ابزارهای مالی جدید است که ما در اینجا پیشنهاد می کنیم ، گزینه هایی با بلوغ بی نهایت. ما معتقدیم که ابزارهای مالی جدیدی که در این مقاله پیشنهاد می کنیم ، به شرکت کنندگان در بازار انگیزه می دهد تا مبادله ای را برای طراحی چنین قراردادهایی برای کمک به تسهیل تجارت کارآمدتر توصیه کنند.

در ایجاد ابزارهای مالی جدید ، ما از چارچوب اساسی استفاده می کنیم که هر دارایی در یک بازار کامل می تواند توسط دارایی های موجود تکرار شود. در مدل کلاسیک Black-Scholes-Merton (BSM) (به Refs 1 و 9 مراجعه کنید) ، قیمت یک دارایی خطرناک توسط حرکت هندسی براونیایی و دارایی بی خطر هدایت می شود. در مدل BSM کلاسیک ، یک مجموعه از دارایی های اساسی دارایی بی خطر و دارایی ریسک پذیر اساسی است. در این مقاله ، ما نشان خواهیم داد که ابزار مالی جدید ما یک دارایی اساسی است. ابزار مالی جدید ، همراه با دارایی بی خطر و دارایی ریسک پذیر ، هر مشتق در مدل BSM را شامل می شود.

بنابراین ابزار مالی جدید ما می تواند و باید توسط دارایی های اساسی تکرار شود. بنابراین ، اگر ابزار مالی جدید برای تجارت همانطور که دارایی اساسی است در دسترس باشد ، فروشنده مشتق دائمی ما می تواند یک سبد تکرار شونده را تشکیل دهد به طوری که یک معامله گر با سرمایه گذاری در دارایی خطرناک می تواند به طور مداوم بتواند از قرار گرفتن در معرض ریسک محافظت کند. به همین دلیل است که ما ابزار مالی جدید خود را (مانند هر دارایی خطرناک در یک بازار کامل) مشاهده می کنیم ، هم به عنوان دارایی که باید خریداری شود (موقعیت طولانی) و در عین حال فروخته می شود (و در نتیجه با استفاده از یک نمونه کارها تکرار شونده کامل تکرار می شود.).

پسوند چارچوب کلاسیک BSM امکان نوسانات تصادفی و پرش را در فرآیند قیمت فراهم می کند که بازار را ناقص می کند. به عنوان مثال ، مرتون [10] یک مدل پرش را به نمایش می گذارد و با استفاده از میانگین ریسک پرش از یک برش کوتاه استفاده می کند و ذکر می کند که مدل وی معادل یک مدل تعادل نیست. با این حال ، ما نشان می دهیم که اگر یک پیوند ویژه با بلوغ اولین ورود (زمان پیش فرض) پرش فرایند پواسون را معرفی کنیم ، مدل مرتون کامل می شود. در مقاله ما ، ما به خط تحقیق مرتون ادامه می دهیم با بحث در مورد چگونگی استفاده از این اوراق ویژه جدید برای محافظت از این امر و با انجام این کار ، ما یک معادله دیفرانسیل جزئی جدید را برای هر ادعای احتمالی که بازار را کامل می کند ، استخراج می کنیم.

با توجه به بازارهای نوسانات ، این بازارها بازارهای ناقص هستند به این معنا که آنها دو مجموعه ریسک را نیز معرفی می کنند: ریسک قیمت و ریسک نوسانات. اما اگر نوسانات دارایی معامله شود ، بازار نوسانات محلی کامل می شود. علاوه بر این ، اگر نوسانات نوسانات معامله شود ، ما چهار دارایی معامله شده (دارایی ریسک اساسی ، نوسانات ، نوسانات نوسانات و دارایی بی خطر) داریم که یک بازار کامل را در مدل بازار نوسانات محلی تشکیل می دهیم. در حال حاضر شرکت کنندگان در بازار از VIX 1 CBOE (به عنوان نوسانات SPDR 2) و VVIX 3 (به عنوان نوسانات VIX) به عنوان دارایی های معامله شده (دارایی های موجود برای تجارت) استفاده می کنند. در مقاله ما معادلات دیفرانسیل جزئی را برای مشتقات مشتق می کنیم که بازار را کامل می کند.

روش کلی ما ، یعنی برای جستجوی ابزارهای محافظت کننده که بیشتر برای مشکلات محافظت از آن مناسب هستند ، برای سه مشکل کلاسیک مرتبط با مدل های قیمت گذاری گزینه اعمال می شود. اول ، ما مدل خود را در بازارهای BSM با زمان مداوم اعمال می کنیم. ما مجموعه جدیدی از مشتقات دائمی را استخراج می کنیم که می تواند به عنوان یک محصول بالقوه قابل معامله باشد. ما همچنین این رویکرد را به بازارهای چند دارایی گسترش می دهیم (به دنبال فرآیندهای کلی ITô چند متغیره). علاوه بر این ، ما با استفاده از مشتقات جدید جدید ، ریسک بازار را قبل و در طی دوره بازار پریشانی اخیر توضیح داده و ارزیابی می کنیم. ما نشان می دهیم که مشتق دائمی جدید ، همراه با یک اندازه گیری ریسک که ما از آن به عنوان نسبت ضرر دم (TLR) یاد می کنیم ، قادر به توضیح و ارزیابی خطر بازار قبل و در دوره بالقوه بازار پریشانی بود. ما شاخص TLR را برای مشتق دائمی جدید و شاخص SPDR S& P 500 برای دوره از 2000-2018 ارائه می دهیم. ما عملکرد پیش بینی مشتق دائمی جدید را با مقایسه شاخص TLR با شاخص TLR برای شاخص SPDR S& P 500 ارزیابی می کنیم. شواهد تجربی ما نشان می دهد که TLR حاصل از ابزار مالی جدید که ما پیشنهاد می کنیم در پیش بینی تصادف بازار واقعی عملکرد خوبی دارد.

مشکل دوم مرتبط با مدل های قیمت گذاری گزینه ای که در این مقاله با آن مقابله می کنیم ، به محافظت از مدل قیمت گذاری گزینه گزینه Jump-Diffusion Merton می پردازد (به Ref 10 مراجعه کنید). در اینجا رویکرد کلاسیک استفاده از یک دارایی بی خطر و سهام است ، اما از آنجا که از این دو ابزار نمی توان برای محافظت از خطر پرش استفاده کرد ، این خطر از بین نمی رود. اکنون ما مجدداً چارچوب کلی خود را برای پاسخ به این سؤال زیر اعمال می کنیم: چه نوع ابزار مالی قابل معامله (احتمالاً غیر خطی) برای طراحی یک استراتژی پرچین برای از بین بردن ریسک پرش مناسب است؟به دنبال رویکرد توسط Ref. 13 ؛ما به این سؤال پاسخ می دهیم و به این ترتیب یک آنالوگ از معادله جزئی دیفرانسیل جزئی مرتون (PIDE) را برای قیمت مشتق یک سبد کاملاً پرچین به دست می آوریم.

سومین کاربرد ما از رویکرد پیشنهادی ، محافظت در حضور نوسانات تصادفی است. در اینجا دو منبع عدم اطمینان وجود دارد: خطر بازار و ریسک نوسانات. اگرچه ریسک بازار با تجارت دارایی زیربنایی به راحتی مورد حمایت قرار می گیرد ، اما تلاش برای محافظت از ریسک نوسانات نیاز به یک مشتق اضافی با بلوغ طولانی تر از گزینه ای دارد که پرچین به دنبال محافظت از آن است. این رویکرد یک دایره شرور ایجاد می کند به این دلیل که پرچین در تلاش است با استفاده از گزینه دیگری که پرچین ارزش قرارداد خود را نمی داند ، گزینه ای را برای محافظت از گزینه فراهم کند. بنابراین ، یک آنالوگ از حق بیمه خطر بازار معرفی می شود (عموماً به عنوان حق بیمه خطر نوسانات شناخته می شود) ، که اکنون به عنوان یک عملکرد پارامتری وارد مدل می شود که باید به طور بالقوه کالیبره شود. در عوض ، به دنبال رویکرد پیشنهادی توسط Ref. 4 ؛ما با ارائه سؤال از مناسب ترین ابزار قابل معامله برای آن مشکل محافظت و توصیف ماهیت حق بیمه ریسک نوسانات با استفاده از مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه مصرف (CCAPM) که توسط Ref تهیه شده است ، رویکرد متفاوتی اتخاذ می کنیم و ماهیت حق بیمه خطر نوسانات را شرح می دهیم. 2

این جوهر روش شناسی ما است: در یک بازار ناقص ، ما حق ریسک را از عوامل خطر مختلف به عنوان توابع ناشناخته (که در نهایت باید تخمین زده یا کالیبراسیون شود) از حق ریسک خارج نمی کنیم. در عوض ، ما بهترین ابزارهای مالی مناسب را انتخاب می کنیم ، که باید به عنوان دارایی های معامله شده عمومی معرفی شوند. این دارایی های جدید باید بازار اساسی را کامل کند. علاوه بر این ، حتی اگر بازار کامل باشد ، ما پایه های مختلف دارایی را شناسایی می کنیم ، که به بهترین وجه مناسب برای مشکل محافظت در نظر گرفته شده است.

ما می توانیم روش خود را بر اساس ایده زیر خلاصه کنیم: هر مشکل محافظت از مجموعه های خاص ("ایده آل") از ابزارهای محافظت کننده ("ایده آل") است. هیچ ابزار جهانی پرچین وجود ندارد ، زیرا هیچ مشکلی جهانی برای محافظت از آن وجود ندارد. 4 علاوه بر این ، ابزارهای ایده آل برای محافظت از مدل بد نمی توانند مدل بدی را خوب کنند. یک مدل ذاتاً بد نمی تواند با هرگونه پیشرفت قابل قبول باشد.

مقاله بصورت زیر مرتب شده است. در بخش بعدی ، ما مجموعه جدیدی از مشتقات دائمی را معرفی می کنیم که به عنوان دارایی پایه در پرتفوی های محافظت کننده خدمت می کنند. در بخش 3 ، ما از روش کلی خود استفاده می کنیم تا مشخص کنیم چه نوع ابزار مالی قابل معامله برای مشکل از بین بردن خطر پرش در مدل پرش از جهش مرتون مناسب است. راه حل استفاده از یک ابزار مالی جدید است که می تواند به عنوان یک اوراق بهادار با بهره مشاهده شود که در آن پرداخت های بهره در ورود پواسون اتفاق می افتد. کاربرد بعدی روش کلی ، محافظت در یک مدل نوسانات تصادفی است. در بخش 4 نشان می دهیم که از شاخص های نوسانات باید به عنوان ابزارهای پرچین مطلوب استفاده شود. در کلیه برنامه ها ، آنالوگهای مربوط به معادلات سیاه اسکلها و مرتون مشتق شده است. در بخش 5 شاخص های TLR مشتق جدید و شاخص جدید SPDR S& P 500 (یک صندوق مبادله ای) ارائه شده و نتایج سپس مقایسه شده است. اثبات در پیوست ارائه شده است.

2. یک کلاس از مشتقات دائمی "ایده آل"

فریم کلاسیک Black-Scholes-Merton BSM را در نظر بگیرید.

الف) یک دارایی خطرناک (سهام) با پویایی قیمت داده شده توسط

به صورت تصادفی (ω ، ℱ ،<ℱ t>t ≥ 0 ، ℙ) 5 به نمایندگی از دنیای طبیعی ، μ میانگین بازده سهام آنی است و σ نوسانات سهام است.